Question

14．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|=|FD|．当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．
（1）求C的方程；
（2）若直线l₁∥l，且l₁和C有且只有一个公共点E，证明直线AE过定点，并求出定点坐标．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线的焦半径公式，结合等边三角形的性质，求出的p值；
（2）设出点A的坐标，求出直线AB的方程，利用直线l₁∥l，且l₁和C有且只有一个公共点E，求出点E的坐标，写出直线AE的方程，将方程化为点斜式，可求出定点．

解答 解：（1）由题意知F（$\frac{p}{2}$，0），设D（t，0）（t＞0），则FD的中点为（$\frac{p+2t}{4}$，0），
因为|FA|=|FD|，由抛物线的定义知：3+$\frac{p}{2}$=|t-$\frac{p}{2}$|，解得t=3+p或t=-3（舍去）．
由$\frac{p+2t}{4}$=3，解得p=2．所以抛物线C的方程为C的方程为y²=4x．
（2）由（1）知F（1，0），
设A（x₁，y₁），|FD|=|AF|=x₁+1，
∴D（x₁+2，0），故直线AB的斜率为-$\frac{{y}_{1}}{2}$，
因为直线l₁和直线AB平行，设直线l₁的方程为y=-$\frac{{y}_{1}}{2}$x+b，
代入抛物线方程得y²+$\frac{8}{{y}_{1}}$y-$\frac{8b}{{y}_{1}}$=0，
由题意△=0，得b=-$\frac{2}{{y}_{1}}$．
设E（x₂，y₂），则x₂=$\frac{4}{{{y}_{1}}^{2}}$，y₂=-$\frac{4}{{y}_{1}}$．
当y₁²≠4时，k_AE=$\frac{4{y}_{1}}{{{y}_{1}}^{2}-4}$，
可得直线AE的方程为y-y₁=$\frac{4{y}_{1}}{{{y}_{1}}^{2}-4}$（x-x₁），
由y₁²=4x₁，整理可得y=$\frac{4{y}_{1}}{{{y}_{1}}^{2}-4}$（x-1），直线AE恒过点F（1，0），
当y₁²=4时，直线AE的方程为x=1，过点F（1，0），所以直线AE过定点F（1，0）．

点评 本题考查了抛物线的定义的应用、标准方程求法，定点问题，考查直线与抛物线的位置关系，属于中档题．