Question

16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosC=（2b-c）cosA．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）已知a=2，求三角形ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用正弦定理和两角和的正弦公式及诱导公式，化简即可得到角A；
（Ⅱ）由余弦定理可得，4=b²+c²-bc≥2bc-bc，即bc≤4，当且仅当b=c=2时取等号，运用三角形的面积公式可得到最大值．

解答 解：（Ⅰ）acosC=（2b-c）cosA，即为
acosC+ccosA=2bcosA，
由正弦定理，可得，sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosA，
sin（A+C）=2sinBcosA即sinB=2sinBcosA，
∵B∈（0，π）
∴sinB≠0
∴cosA=$\frac{1}{2}$，
∵A∈（0，π）
∴A=$\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）由余弦定理可得，4=b²+c²-bc≥2bc-bc，
∴bc≤4，当且仅当b=c=2时取等号，
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$bc≥$\sqrt{3}$，
∴当且仅当b=c=2时，S取得最大值，且为$\sqrt{3}$．

点评 本题考查正弦定理和面积公式的运用，考查两角和差的正弦公式和诱导公式的运用，考查运算能力，属于中档题．