Question

【题目】已知函数为的导函数．

（1）求函数的单调区间；

（2）若函数在上存在最大值0，求函数在[0，＋∞)上的最大值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）先求导，再分类讨论，即可求出g（x）的单调区间，（2）由（1）可知，a＞0且 g（x）在 x＝﹣lna处取得最大值，即构造函数 h（a）＝a﹣lna﹣1（a＞0），根据导数求出函数的最值，可知f（x）在[0，+∞）上单调递减，即可求解最大值

（1）由题意可知，g（x）＝f'（x）＝x+a﹣aex，则g'（x）＝1﹣aex，

当a≤0时，g'（x）＞0，∴g（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；

当a＞0时，解得x＜﹣lna时，g'（x）＞0，x＞﹣lna时，g'（x）＜0

∴g（x）在（﹣∞，﹣lna）上单调递增，在（﹣lna，+∞）上单调递减

综上，当a≤0时，g（x）的单调递增区间为（﹣∞，+∞），无递减区间；

当a＞0时，g（x）的单调递增区间为 （﹣∞，﹣lna），单调递减区间为（﹣lna，+∞）．

（2）由（1）可知，a＞0且 g（x）在 x＝﹣lna处取得最大值，

，即a﹣lna﹣1＝0，

观察可得当a＝1时，方程成立

令 h（a）＝a﹣lna﹣1（a＞0），

当 a∈（0，1）时，h'（a）＜0，当a∈（1，+∞）时，h'（a）＞0

∴h（a）在（0，1）上单调递减，在 （1，+∞）单调递增，

∴h（a）≥h（1）＝0，

∴当且仅当a＝1时，a﹣lna﹣1＝0，

∴，由题意可知 f'（x）＝g（x）≤0，f（x）在[0，+∞）上单调递减，

∴f（x）在x＝0处取得最大值f（0）＝﹣1