Question

【题目】设函数是偶函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若不等式对任意实数成立，求实数的取值范围；

（3）设函数，若在上有零点，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）由f（﹣x）＝f（x），可求得k＝2．由，即，即可求得不等式的解集；

（2）由得，结合对勾函数的图象与性质求最值即可．

（3）原题意可转化在上有解，即等价于在上有解.

（1）因为是偶函数，所以恒成立，

即 恒成立，也即恒成立，

所以.

由得，

解得或，即或，

所以不等式的解集为.

（2）不等式即为，即，

因为，当且仅当时，取等号.所以，

由函数在上是增函数知的最小值为3，

所以，故实数的取值范围是.

（3）

在上有零点，

即为在上有解，

因为，所以，

所以条件等价于在上有解.

令，则，令，则在上单调递增，

因此，，.

设，任取，则，

.

若，则，所以，即在上单调递增；

若，则，所以，即在上单调递减.

所以函数在时取得最小值，且最小值，

所以，

从而，满足条件的实数的取值范围是.