【题目】在平面直角坐标系中,定长为3的线段
两端点
、
分别在
轴,
轴上滑动,
在线段
上,且
.
(1)求点的轨迹
的方程;
(2)设点是轨迹
上一点,从原点
向圆
作两条切线分别与轨迹
交于点
,
,直线
,
的斜率分别记为
,
.
①求证:;
②求的最大值.
【答案】(1)见证明;(2)2.5
【解析】
设
,
,
,根据
,可得
,
,再根据
,即可求出轨迹方程,
因为直线OP:
,OQ:
,与圆R相切,推出
,
是方程
的两个不相等的实数根,利用韦达定理推出
结合点
在椭圆C上,证明
.
当直线OP,OQ不落在坐标轴上时,设
,
,通过
,推出
,利用
,
,在椭圆C上,推出
,即可求出
的最大值.
设
,
,
,
.
,
,
,
,
,
,
,
即,
证明:直线OP:
,OQ:
,与圆相切,
直线OP:
与圆M:
联立,
可得
同理,
由判别式为0,可得,
是方程
的两个不相等的实数根,
,
点
在椭圆C上,所以
,
;
当直线OP,OQ不落在坐标轴上时,设
,
,
,
,即
,
,
在椭圆C上,
,
整理得,
.
当直线落在坐标轴上时,显然有
,
综上:
,
的最大值为
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知抛物线C:,点
在x轴的正半轴上,过点M的直线l与抛线C相交于A、B两点,O为坐标原点.
若
,且直线l的斜率为1,求证:以AB为直径的圆与抛物线C的准线相切;
是否存在定点M,使得不论直线l绕点M如何转动,
恒为定值?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设A,B,C,D为平面内的四点,且A(1,3),B(2,–2),C(4,1).
(1)若,求D点的坐标;
(2)设向量,
,若k
–
与
+3
平行,求实数
的值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】心理学家发现视觉和空间能力与性别有关,某数学兴趣小组为了验证这个结论,从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学,给所有同学几何和代数各一题,让各位同学自由选择一道题进行解答,统计情况如下表:(单位:人)
几何题 | 代数题 | 总计 | |
男 同学 | 22 | 8 | 30 |
女同学 | 8 | 12 | 20 |
总计 | 30 | 20 | 50 |
(1)能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关?
(2)现从选择几何题的8名女生中任意抽取两人对他们的答题进行研究,记甲、乙两名女生被抽到的人数为,求
的分布列及数学期望.
附表及公式:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知是不重合直线,
是不重合平面,则下列命题
①若,则
∥
②若∥
∥
,则
∥
③若∥
、
∥
,则
∥
④若,则
∥
⑤若,则
∥
为假命题的是
A. ①②③ B. ①②⑤ C. ③④⑤ D. ①②④
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