Question

【题目】已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=-x2+4x．

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）在给定的坐标系中画出函数f（x）在R上的图象（不用列表）；

（3）讨论直线y=m（m∈R）与y=f（x）的图象的交点个数．

Answer 1

【答案】（1）f（x）=； （2）见解析；（3）见解析.

【解析】

本题第（1）题利用偶函数的性质公式f（x）＝f（﹣x）可得当x＜0时的函数表达式，则即可得到函数f（x）的解析式；第（2）题可将第（1）题中函数f（x）的解析式化为顶点式，即可画出f（x）的图象；第（3）题根据第（2）题中f（x）大致图象，对m分类讨论即可得到交点个数．

（1）由题意，

当x＜0时，﹣x＞0，f（﹣x）＝﹣（﹣x）2+4（﹣x）＝﹣x2﹣4x，

又∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，

∴当x＜0时，f（x）＝f（﹣x）＝﹣x2﹣4x，

∴函数f（x）的解析式为：

f（x）．

（2）由（1），知：

当x＜0时，f（x）＝﹣x2﹣4x＝﹣（x+2）2+4；当x≥0时，f（x）＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4．

∴f（x），大致图象如下：

（3）根据（2）中f（x）大致图象，可知

①当m＜0时，直线y＝m与y＝f（x）的图象有2个交点；

②当m＝0时，直线y＝m与y＝f（x）的图象有3个交点；

③当0＜m＜4时，直线y＝m与y＝f（x）的图象有4个交点；

④当m＝4时，直线y＝m与y＝f（x）的图象有2个交点；

⑤当m＞4时，直线y＝m与y＝f（x）的图象有没有交点．