Question

12．给定函数①y=x${\;}^{\frac{1}{2}}$，②y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x+1），③y=|x-1|，④y=2^x+1，⑤f（x）=$\frac{{4}^{x}+1}{{2}^{x}}$其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是②③．

Answer 1

分析 由函数图象，对数函数的单调性，一次函数的单调性，指数函数的单调性，以及函数导数符号和函数单调性的关系即可判断每个函数在（0，1）上的单调性，从而得出在（0，1）上为减函数的序号．

解答 解：①根据函数$y={x}^{\frac{1}{2}}$的图象即知该函数在（0，1）上单调递增；
②由对数函数的单调性知函数$y=lo{g}_{\frac{1}{2}}（x+1）$在（0，1）上单调递减；
③x∈（0，1），∴y=|x-1|=-x+1，该一次函数在（0，1）上显然是减函数；
④根据指数函数的单调性知函数y=2^x+1在（0，1）上为增函数；
⑤f′（x）=$\frac{{2}^{x}ln2（{4}^{x}-1）}{{4}^{x}}$；
∵x＞0；
∴4^x-1＞0；
∴f′（x）＞0；
∴函数f（x）在（0，1）上单调递增；
∴在（0，1）上单调递减的函数序号为：②③．
故答案为：②③．

点评 考查对函数$y={x}^{\frac{1}{2}}$图象的掌握，对数函数和指数函数，及一次函数的单调性，含绝对值函数的处理方法：去绝对值号，以及函数导数符号和函数单调性的关系，注意正确求导．