Question

12．已知：a，b∈R⁺，且a≠b，求证：a³+b³＞a²b+ab²．

Answer 1

分析 法一，分析法：证明使a³+b³＞a²b+ab²成立的充分条件成立．
法二，综合法：由条件a≠b推出：a²-2ab+b²＞0，通过变形，应用不等式的性质可证出结论．

解答 证明：法一：（分析法）a³+b³＞a²b+ab² 成立，
只需证（a+b）（a²-ab+b²）＞ab（a+b）成立．
又因为a＞0，故只需证a²-ab+b²＞ab成立，
而依题设a≠b，则（a-b）²＞0显然成立，由此命题得证．
法二：（综合法）∵a≠b，∴a-b≠0，
∴a²-2ab+b²＞0，∴a²-ab+b²＞ab（*）．
而a，b均为正数，∴a+b＞0，
∴（a+b）（a²-ab+b²）＞ab（a+b），
∴a³+b³＞a²b+ab² 成立．

点评 本题主要考查用分析法和综合法证明不等式，此题还可用比较法证明，体会不同方法间的区别联系，属于基础题．