Question

17．下列函数既是奇函数，又在区间[-1，1]上单调递减的是（　　）

• A． f（x）=sinx
• B． f（x）=ln$\frac{2-x}{2+x}$
• C． f（x）=-|x+1|
• D． f（x）=$\frac{1}{2}（{e^x}-{e^{-x}}）$

Answer 1

分析 根据正弦函数的单调性，函数导数符号和函数单调性的关系，奇函数的定义，减函数的定义即可判断每个选项的正误，从而得到正确选项．

解答 解：A．f（x）=sinx在[-1，1]上单调递增；
B．f（x）=$ln\frac{2-x}{2+x}$，解$\frac{2-x}{2+x}＞0$得该函数的定义域为[-2，2]；
又f′（x）=$\frac{-4}{（2-x）（2+x）}＜0$；
∴f（x）在区间[-1，1]上是减函数；
又f（-x）=$ln\frac{2+x}{2-x}=-ln\frac{2-x}{2+x}$=-f（x）；
∴f（x）是奇函数；
∴该选项正确；
C．f（x）=-|x+1|，奇函数f（x）在原点有定义时f（0）=0；
而这里f（0）=-1；
∴该函数不是奇函数；
D.$f（x）=\frac{1}{2}（{e}^{x}-{e}^{-x}）$，f（-1）=$\frac{1}{2}（\frac{1}{e}-e）＜\frac{1}{2}（e-\frac{1}{e}）=f（1）$；
∴该函数在[-1，1]上不是减函数．
故选B．

点评 考查正弦函数的单调性，函数导数符号和函数单调性的关系，以及奇函数的定义，奇函数f（x）在原点有定义时f（0）=0，减函数的定义．