Question

7．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，a_n+1=2S_n+1（n∈N^*），在等差数列{b_n}中，b₂=5，且公差d=2．使得a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n＞60n成立的最小正整数n为（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 根据等差数列的通项公式，以及数列项和和之间的关系，建立方程关系即可求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；利用错位相减法求出数列{a_nb_n}的前n项和Sn，即可解不等式．

解答 解：∵a₁=1，a_n+1=2S_n+1（n∈N^*），
∴当n≥2时，a_n=2S_n-1+1，
两式作差得a_n+1-a_n=2S_n-2S_n-1=2a_n，
即a_n+1=3a_n，
当n=1是，a₂=2S₁+1=2+1=3，满足a₂=3a₁，
综上恒有a_n+1=3a_n，
即数列{a_n}是公比q=3的等比数列，则a_n=3^n-1，
在等差数列{b_n}中，b₂=5，且公差d=2．
∴b_n=b₂+（n-2）d=5+2（n-2）=2n+1，
∵${a_n}•{b_n}=（{2n+1}）•{3^{n-1}}$
令T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n，
则${T_n}=3×1+5×3+7×{3^2}+…+（{2n-1}）×{3^{n-2}}+（{2n+1}）×{3^{n-1}}$…①
则3T_n=3×3+5×3²+7×3³+…+（2n-1）×3^n-1+（2n+1）×3ⁿ…②
①-②得：$-2{T_n}=3×1+2（{3+{3^2}+…+{3^{n-1}}}）-（{2n+1}）×{3^n}$
∴T_n=n×3ⁿ＞60n，即3ⁿ＞60，
∵3³=27，3⁴=81，
∴n的最小正整数为4．

点评 本题主要考查数列的通项公式和数列前n项和Sn的计算，以及数列与不等式的综合应用，利用错位相减法是解决本题的关键．