Question

12．设不等式x²+y²≤2确定的平面区域为U，|x|+|y|≤1确定的平面区域为V（Ⅰ）定义坐标为整数的点为整点
（1）在区域U内任取1个整点P（x，y），求满足x+y≥0的概率
（2）在区域U内任取2个整点，求这两个整点中恰有1个整点在区域V内的概率
（3）在区域U内任取一个点，求此点在区域V的概率．

Answer 1

分析 （1）利用列举法求出对应事件，结合古典概型的概率公式进行求解．
（2）利用列举法求出对应事件，结合古典概型的概率公式进行求解．
（3）求出对应区域的面积，结合几何概型的概率公式进行求解．

解答 解：（1）满足x²+y²≤2的整点有：（-1，-1），（-1，0），（-1，1），（0，-1）（0，0），（0，1），（1，-1），（1，0）（1，1）共9个．
满足|x|+|y|≤1的整点有（-1，0），（0，-1），（0，0），（0，1），（1，0）共5个
满足x+y≥0的整点有：（-1，1），（0，0），（0，1）（1，-1），（1，0）（1，1）
共6个，所求的概率P=$\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$．
（2）在区域内任取2个整点，有36个，2个整点中恰有1个整点在区域V内有：20个，则所求概率为P=$\frac{20}{36}=\frac{5}{9}$．
（3）区域U的面积为π×2=2π，区域V的面积为$（\sqrt{2}）^{2}=2$，
在区域U内任取一点，该点在区域V内的概率为P=$\frac{2}{2π}=\frac{1}{π}$．

点评 本题主要考查概率的计算，涉及古典概型和几何概型，利用列举法是解决古典概型的基本方法，利用图象法是解决几何概型的基本方法．