Question

20．已知a，b，c，d为正数，求证：$\frac{a}{b+c}$+$\frac{b}{c+d}$+$\frac{c}{d+a}$+$\frac{d}{a+b}$≥2．

Answer 1

分析 由柯西不等式得：[a（b+c）+b（c+d）+c（d+a）+d（a+b）]（$\frac{a}{b+c}$+$\frac{b}{c+d}$+$\frac{c}{d+a}$+$\frac{d}{a+b}$）≥（a+b+c+d）²，只需证（a+b+c+d）²≥2[a（b+c）+b（c+d）+c（d+a）+d（a+b）]，化简整理，由完全平方大于等于0，即可得证．

解答 证明：a，b，c，d为正数，
由柯西不等式得：
[a（b+c）+b（c+d）+c（d+a）+d（a+b）]（$\frac{a}{b+c}$+$\frac{b}{c+d}$+$\frac{c}{d+a}$+$\frac{d}{a+b}$）≥（a+b+c+d）²，
于是只需证：
（a+b+c+d）²≥2[a（b+c）+b（c+d）+c（d+a）+d（a+b）]
?a²+b²+c²+d²-2ac-2bd≥0，
?（a-c）²+（b-d）²≥0．
当且仅当a=b=c=d时取等号．
即有$\frac{a}{b+c}$+$\frac{b}{c+d}$+$\frac{c}{d+a}$+$\frac{d}{a+b}$≥2．

点评 本题考查不等式的证明，考查运用柯西不等式，结合分析法证明的方法，考查推理能力，属于中档题．