Question

5．已知S_n=2n²+4n，设{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前n项和为T_n，证明：$\frac{1}{6}$≤T_n≤$\frac{3}{8}$．

Answer 1

分析 由条件，可得$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{2n（n+2）}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），再由裂项相消求和可得T_n，判断单调性，即可得证．

解答 证明：由S_n=2n²+4n，
则$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{2n（n+2）}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
T_n=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{1}{4}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{3}{8}$-$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$），
由$\frac{3}{8}$-$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$）为递增数列，
则n=1时，取得最小值$\frac{1}{6}$，
且$\frac{3}{8}$-$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$）＜$\frac{3}{8}$．
即有$\frac{1}{6}$≤T_n＜$\frac{3}{8}$．

点评 本题考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查数列的单调性的运用，属于中档题．