Question

10．在△ABC中，若|$\overrightarrow{AC}$|=2$\sqrt{3}$，且$\overrightarrow{BC}$•cosA+$\overrightarrow{AB}$•cosC=$\overrightarrow{AC}$•sinB  
（1）求角B的大小；
（2）求△ABC的面积S．

Answer 1

分析 （1）根据向量的基本运算将条件进行化简即可求角B的大小；
（2）根据正弦定理求出|$\overrightarrow{BC}$|的长度即可求△ABC的面积S．

解答 解：（1）由题可知：在△ABC中，?|$\overrightarrow{AC}$|=2$\sqrt{3}$，
$\overrightarrow{BC}$•cosA+$\overrightarrow{AB}$•cosC=$\overrightarrow{AC}$•sinB  
因为$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$，
所以$\overrightarrow{BC}$•cosA+$\overrightarrow{AB}$•cosC=（$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$）•sinB=$\overrightarrow{AB}$•sinB+$\overrightarrow{BC}$•sinB，
即（cosC-sinB）•$\overrightarrow{AB}$+（cosA-sinB）•$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{0}$，
而$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{BC}$是两不共线向量，
∴cosC-sinB=0，cosA-sinB=0，
则cosC=cosA=sinB
∵0＜A，C＜π，
∴A=C，△ABC 为等腰三角形．
在等腰△ABC中，A+B+C=π，
∴2A+B=π，A=$\frac{π}{2}$-$\frac{B}{2}$；
由上知：cosA=cos（ $\frac{π}{2}$-$\frac{B}{2}$）=sin$\frac{B}{2}$=sinB，
∴sin$\frac{B}{2}$=2sin$\frac{B}{2}$cos$\frac{B}{2}$，
∴cos $\frac{B}{2}$=$\frac{1}{2}$，0＜$\frac{B}{2}$＜$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{B}{2}$=$\frac{π}{3}$，B=$\frac{2π}{3}$．
（2）由（1）知：则A=C=$\frac{π}{6}$，由正弦定理得：$\frac{|\overrightarrow{AC}|}{sin\frac{2π}{3}}=\frac{|\overrightarrow{BC}|}{sin\frac{π}{6}}$，
即$\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{|\overrightarrow{BC}|}{\frac{1}{2}}$，则|$\overrightarrow{BC}$|=2，
则S_△ABC=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AC}$||$\overrightarrow{BC}$|sin$\frac{π}{6}$=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×2×$\frac{1}{2}$=$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查三角形面积的计算，根据条件结合向量的加法法则进行化简，以及利用正弦定理是解决本题的关键．