Question

13．设复数Z=a+bi（a，b∈R，b≠0），w=a+bi+$\frac{a-bi}{{a}^{2}+{b}^{2}}$是实数，且-1＜w＜2
（1）求|Z|的值；
（2）求Z的实部a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用“复数为实数即虚部为0”化简可知a²+b²=1，进而可得结论；
（2）利用a²+b²=1可知w=2a，进而可得结论．

解答 解：（1）∵w=a+bi+$\frac{a-bi}{{a}^{2}+{b}^{2}}$=（a+$\frac{a}{{a}^{2}+{b}^{2}}$）+（b-$\frac{b}{{a}^{2}+{b}^{2}}$）i是实数，
∴b-$\frac{b}{{a}^{2}+{b}^{2}}$=0，a²+b²=1，
∴|Z|=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=1；
（2）∵a²+b²=1，
∴w=a+bi+$\frac{a-bi}{{a}^{2}+{b}^{2}}$=a+bi+a-bi=2a，
又∵-1＜w＜2，
∴-$\frac{1}{2}$＜a＜1，
即Z的实部a的取值范围是：（-$\frac{1}{2}$，1）．

点评 本题考查复数的相关概念，注意解题方法的积累，属于中档题．