Question

8．若函数为f（x）=x²-2mx-2m-1
（1）求f（x）＞0的解集；
（2）若f（x）＞-4m-2对满足0≤x≤1的所有实数x都成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）解x²-2mx-2m-1=0得：x=2m+1或x=-1，结合二次函数的图象和性质，讨论2m+1与-1的大小，可得不等式f（x）＞0的解集．
（2）首先对提议进行转换，考虑二次函数的对称轴和已知区间之间的关系进行分类讨论，最后求出参数的取值范围．

解答 解：（1）解x²-2mx-2m-1=0得：x=2m+1或x=-1，
当2m+1＜-1，即m＜-1时，不等式f（x）＞0的解集是：（-∞，2m+1）∪（-1，+∞），
当2m+1=-1，即m=-1时，不等式f（x）＞0的解集是：（-∞，-1）∪（-1，+∞），
当2m+1＞-1，即m＞-1时，不等式f（x）＞0的解集是：（-∞，-1）∪（2m+1，+∞），
（2）若f（x）＞-4m-2对满足0≤x≤1的所有实数x都成立，
即x²-2mx+2m+1＞0对满足0≤x≤1的所有实数x都成立，
设函数g（x）=x²-2mx+2m+1
所以函数是开口方向向上，对称轴为x=m的抛物线．
由于g（x）=x²-2mx+2m+1在0≤x≤1的所有实数x对g（x）＞0都成立，
所以①当m＜0时，只需g（0）＞0成立即可．
即：2m+1＞0
解得：m＞-$\frac{1}{2}$所以：-$\frac{1}{2}$＜m＜0
②当0≤m≤1时，只需满足f（m）＞0即可．
即：m²-2m²+2m+1＞0
解得：1-$\sqrt{2}$≤m≤1+$\sqrt{2}$所以：0≤m≤1
③当m＞1时，只需满足f（1）＞0即可．
即：2＞0恒成立
所以：m＞1
综上所述：m的取值范围为：m＞-$\frac{1}{2}$

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．