Question

11．定义在（-∞，+∞）上的偶函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），且在[-1，0]上是增函数，下面是关于f（x）的判断：
①f（8）=f（0）
②f（x）在[0，1]上是增函数；
③f（x）的图象关于直线x=1对称
④f（x）关于点P（$\frac{1}{2}，0$）对称．
其中正确的判断是①③④．

Answer 1

分析 由函数的奇偶性以及f（x+1）=-f（x）可得函数的周期性，利用函数奇偶性，周期性和单调性之间的关系分别进行判断即可．

解答 解：由f（x+1）=-f（x）可得f（x+2）=-f（x+1）=f（x），
即函数f（x）是周期为2的周期函数，
①则f（8）=f（0）成立，即①正确；
②∵f（x）为偶函数且在[-1，0]上单增可得f（x）在[0，1]上是减函数，即②错误；
③∵f（x+2）=f（x），且函数f（x）是偶函数，
∴f（x+2）=f（-x），
即f（x+1）=f（1-x），则f（x）的图象关于直线x=1对称，即③正确；
④∵f（x+1）=-f（x）=-f（-x），
∴f（x）关于点P（$\frac{1}{2}，0$）对称．即④正确，
故答案为：①③④

点评 本题考查函数的对称性，函数的单调性，函数奇偶性的应用，考查学生分析问题解决问题的能力，要求熟练掌握函数的常用性质．