Question

15．已知函数f（x）=alnx-ax-3（a＜0）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[0，1]，函数g（x）=x³+x²[f′（x）+m]在区间（t，2）上总不是单调函数，其中f′（x）为f（x）的导函数，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导，利用导数的正负确定函数的单调区间；
（2）求导，利用零点存在定理判定g′（x）在（t，2）上总存在零点计算即得结论．

解答 解：（1）根据题意知，f′（x）=$\frac{a（1-x）}{x}$（x＞0），
令f′（x）=0得：x=1，
∴当a＜0时，f（x）的单调递增区间为（1，+∞）、f（x）的单调递减区间为（0，1]；
（2）∵函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，
∴f′（2）=-$\frac{a}{2}$=1，即a=-2，
∴f（x）=-2lnx+2x-3，
∴g（x）=x³+（m+2）x²-2xm，
∴g′（x）=3x²+（2m+4）x-2，
∵g（x）在区间（t，2）上总不是单调函数，且g′（0）=-2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{g′（t）＜0}\\{g′（2）＞0}\end{array}\right.$，
由题意知：对于任意的t∈[0，1]，g′（t）＜0恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{g′（0）＜0}\\{g′（1）＜0}\\{g′（2）＞0}\end{array}\right.$，
∴-$\frac{9}{2}$＜m＜-$\frac{5}{2}$．

点评 利用导数研究函数的单调性、极值、最值及与函数有关的综合题，都体现了导数的重要性；此类问题往往从求导入手，思路清晰；但综合性较强，需学生有较高的逻辑思维和运算能力．