Question

19．已知不等式a+2b+27＞（m²-m）（$\sqrt{a}$+2$\sqrt{b}$）对任意正数a，b都成立，则实数m的取值范围是（　　）

• A． （-3，2）
• B． （-2，3）
• C． （-1，2）
• D． （-1，4）

Answer 1

分析 将原不等式化为m²-m＜$\frac{a+2b+27}{\sqrt{a}+2\sqrt{b}}$，利用基本不等式得a+2b+27=（a+9）+2（b+9）≥6（$\sqrt{a}$+2$\sqrt{b}$），求出$\frac{a+2b+27}{\sqrt{a}+2\sqrt{b}}$的最小值，再求出m的范围．

解答 解：原不等式化为：m²-m＜$\frac{a+2b+27}{\sqrt{a}+2\sqrt{b}}$对任意正数a，b都成立，
因为a+2b+27=（a+9）+2（b+9）
≥2$\sqrt{9a}$+2×2$\sqrt{9b}$=6（$\sqrt{a}$+2$\sqrt{b}$），
当且仅当a=b=9时取等号，
所以$\frac{a+2b+27}{\sqrt{a}+2\sqrt{b}}$≥6，
即当a=b=9时$\frac{a+2b+27}{\sqrt{a}+2\sqrt{b}}$的最小值是6，
所以m²-m＜6，则m²-m-6＜0，解得-2＜m＜3，
则实数m的取值范围是（-2，3），
故选：B．

点评 本题考查不等式的性质，基本不等式的灵活应用求最值，以及恒成立问题，属中档题．