Question

14．已知抛物线y²=2px（p＞0）
（1）求证：抛物线上到焦点F（$\frac{p}{2}$，0）距离最近的点是抛物线的顶点．
（2）若有点M（m，0）（m＞0），试问m满足什么条件时，抛物线y²=2px上到点M距离最近的点仍是抛物线的顶点？

Answer 1

分析 （1）运用抛物线的定义，可得到焦点的距离等于到准线的距离，即可得证；
（2）m＞0时，设点P（x，y）为抛物线上的任意一点，则|PM|=$\sqrt{（x-m）^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{（x-m）^{2}+2px}$，由配方，再由二次函数的对称轴和区间的关系，可得最小值，可得m的范围

解答 （1）证明：利用抛物线的定义可知到焦点的距离等于到准线的距离，
抛物线上到准线最近的点是顶点，
所以到焦点最近的点也是顶点．
（2）解：m＞0时，设点P（x，y）为抛物线上的任意一点，
则|PM|=$\sqrt{（x-m）^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{（x-m）^{2}+2px}$=$\sqrt{[x-（m-p）]^{2}+2mp-{p}^{2}}$，
∵当x=0时，上式取得最小值，
∴m-p≤0，解得m≤p，
又m＞0，∴0＜m≤p．
综上可得：实数m的取值范围是（0，p]．

点评 本题考查抛物线的定义、方程和性质，同时考查二次函数的最值的求法，属于中档题．