Question

4．如果椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），满足a，b，c成等比数列，则该椭圆为“优美椭圆”，且其离心率e=$\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$；由此类比双曲线，若也称其为“优美双曲线”，那么你得到的正确结论为：双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$中，若a，b，c成等比数列，则称双曲线为“优美双曲线”，且离心率$e=\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}$．．

Answer 1

分析 根据等比数列的性质和双曲线的a，b，c的关系，解方程，结合离心率公式，从而可求双曲线的离心率，即可得出结论．

解答 解：双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$中，若a，b，c成等比数列，
则称双曲线为“优美双曲线”，且离心率$e=\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}$．
理由：双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$
若a，b，c成等比数列，
∴b²=ac，
∴c²-a²=ac，
∴e²-e-1=0，
∵e＞1，
∴e=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．
故答案为：双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$中，若a，b，c成等比数列，
则称双曲线为“优美双曲线”，且离心率$e=\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}$．

点评 本题考查椭圆、双曲线的离心率，等比数列性质的应用，考查计算能力，属于中档题．