Question

15．极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知曲线C₁的极坐标方程为ρ=4cosθ，曲线C₂的参数方程是  $\left\{\begin{array}{l}x=m+tcosα\\ y=tsinα\end{array}$（t为参数，0≤α＜π），射线θ=φ，θ=φ+$\frac{π}{4}$，θ=φ-$\frac{π}{4}$（与曲线C₁交于极点O外的三点A，B，C．
（1）求证：|OB|+|OC|=$\sqrt{2}$|OA|；
（2）当φ=$\frac{π}{12}$时，B，C两点在曲线C₂上，求m与α的值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得：|OA|=4cosφ，|OB|=4cos（φ+$\frac{π}{4}$），|OC|=4cos（φ$-\frac{π}{4}$），利用和差公式展开可得|OB|+|OC|=$\sqrt{2}$×4cosφ，即可证明．
（2）当φ=$\frac{π}{12}$时，B$（2，\frac{π}{3}）$，C$（2\sqrt{3}，-\frac{π}{6}）$．化为直角坐标B$（1，\sqrt{3}）$，C$（3，-\sqrt{3}）$．可得直线BC的方程，又曲线C₂是经过点（m，0），且倾斜角为α的直线，即可得出．

解答 （1）证明：由题意可得：|OA|=4cosφ，|OB|=4cos（φ+$\frac{π}{4}$），|OC|=4cos（φ$-\frac{π}{4}$），
∴|OB|+|OC|=4cos（φ+$\frac{π}{4}$）+4cos（φ$-\frac{π}{4}$）=8cosφ×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}$×4cosφ=$\sqrt{2}$|OA|．
∴|OB|+|OC|=$\sqrt{2}$|OA|．
（2）解：当φ=$\frac{π}{12}$时，B$（2，\frac{π}{3}）$，C$（2\sqrt{3}，-\frac{π}{6}）$．化为直角坐标B$（1，\sqrt{3}）$，C$（3，-\sqrt{3}）$．
∴直线BC的方程为：$y-\sqrt{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{-2}$（x-1），化为y=-$\sqrt{3}（x-2）$，
曲线C₂是经过点（m，0），且倾斜角为α的直线，
∴m=2，tanα=-$\sqrt{3}$，解得$α=\frac{2π}{3}$．
∴m=2，$α=\frac{2π}{3}$．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．