Question

14．已知函数y=f（x）是定义在[a，b]上的增函数，其中a，b∈R，且0＜b＜-a，设函数F（x）=[f（x）]²-[f（-x）]²，且F（x）不恒等于0，则对于F（x）有如下说法：①定义域为[-b，b]②是奇函数；③最小值为0；④在定义域内单调递增，其中正确说法的个数有2．

Answer 1

分析 根据抽象函数的性质，分别结合函数定义域，函数奇偶性和最值和单调性的性质进行判断即可．

解答 解：根据题意，依次分析4个命题：
①，F（x）=[f（x）]²-[f（-x）]²，由a≤x≤b且a≤-x≤b，
而又由0＜b＜-a，
解得-b≤x≤b，即F（x）中，x的取值范围是-b≤x≤b，即其定义域是[-b，b]，则①正确；
②F（-x）=[f（-x）]²-[f（x）]²=-[f（x）]²-[f（-x）]²=-F（x），且其定义域为[-b，b]，关于原点对称，
则F（x）为奇函数，②正确；
③由y=f（x）无零点，假设f（x）=2^x，则F（x）=2^2x-2^-2x=2^2x-$\frac{1}{{2}^{2x}}$为增函数，当x=-1时，F（-1）=$\frac{1}{4}-4=-\frac{15}{4}$．则最小值不是0，故③错误；
④若f（x）为x，满足是增函数，但F（x）=x²-x²=0，故F（x）在其定义域内不会单调递增，④错误；
故答案为2．

点评 本题考查抽象函数的性质，涉及函数的定义域、奇偶性、单调性、最值等性质，判断②时，注意要结合函数F（x）的定义域．