Question

6．在下列由正数排成的数表中，每行上的数从左到右都成等比数列，并且所有公比都等于q，每列上的数从上到下都成等差数列．a_ij表示位于第i

a11	a12	a13	…
a21	a22	a23	…
a31	a32	a33	…
…	…	…	…

行第j列的数，其中${a_{24}}=\frac{1}{8}$，a₄₂=1，${a_{54}}=\frac{5}{16}$．
（Ⅰ） 求q的值；
（Ⅱ） 求a_ij的计算公式；
（Ⅲ）设数列{b_n}满足b_n=a_nn，{b_n}的前n项和为S_n，求S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设第4列公差为d，则d=$\frac{{a}_{54}-{a}_{24}}{5-2}$．可得a₄₄=a₅₄-d，于是q²=$\frac{{a}_{44}}{{a}_{42}}$．解出即可．
（Ⅱ）在第4列中，a_i4=a₂₄+（i-2）d．由于第i行成等比数列，且公比$q=\frac{1}{2}$，可得a_ij=${a}_{i4}{q}^{j-4}$．
（Ⅲ）由（Ⅱ）可得${a_{nn}}=n{（{\frac{1}{2}}）^n}$．即b_n=$n{（{\frac{1}{2}}）^n}$．S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=a₁₁+a₂₂+a₃₃+…+a_nn．利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）设第4列公差为d，则$d=\frac{{{a_{54}}-{a_{24}}}}{5-2}=\frac{{\frac{5}{16}-\frac{1}{8}}}{3}=\frac{1}{16}$．
故${a_{44}}={a_{54}}-d=\frac{5}{16}-\frac{1}{16}=\frac{1}{4}$，
于是${q^2}=\frac{{{a_{44}}}}{{{a_{42}}}}=\frac{1}{4}$．
由于a_ij＞0，∴q＞0，故$q=\frac{1}{2}$．
（Ⅱ）在第4列中，${a_{i4}}={a_{24}}+（i-2）d=\frac{1}{8}+\frac{1}{16}（i-2）=\frac{1}{16}i$．
由于第i行成等比数列，且公比$q=\frac{1}{2}$，
∴${a_{ij}}={a_{i4}}•{q^{j-4}}=\frac{1}{16}i•{（{\frac{1}{2}}）^{j-4}}=i•{（{\frac{1}{2}}）^j}$．
（Ⅲ）由（Ⅱ）可得${a_{nn}}=n{（{\frac{1}{2}}）^n}$．即b_n=$n{（{\frac{1}{2}}）^n}$．
∴S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=a₁₁+a₂₂+a₃₃+…+a_nn．
即${S_n}=1•\frac{1}{2}+2•{（{\frac{1}{2}}）^2}+3•{（{\frac{1}{2}}）^3}+…+（n-1）•{（{\frac{1}{2}}）^{n-1}}+n•{（{\frac{1}{2}}）^n}$，
故$\frac{1}{2}{S_n}=1•{（{\frac{1}{2}}）^2}+2•{（{\frac{1}{2}}）^3}+3•{（{\frac{1}{2}}）^4}+…+（n-1）•{（{\frac{1}{2}}）^n}+n•{（{\frac{1}{2}}）^{n+1}}$．
两式相减，得$\frac{1}{2}{S_n}=\frac{1}{2}+{（{\frac{1}{2}}）^2}+{（{\frac{1}{2}}）^3}+…+{（{\frac{1}{2}}）^n}-n•{（{\frac{1}{2}}）^{n+1}}$=$\frac{{\frac{1}{2}[{1-{{（{\frac{1}{2}}）}^n}}]}}{{1-\frac{1}{2}}}-n•{（{\frac{1}{2}}）^{n+1}}=1-{（{\frac{1}{2}}）^n}-n{（{\frac{1}{2}}）^{n+1}}$，
∴${S_n}=2-\frac{1}{{{2^{n-1}}}}-\frac{n}{2^n}$．

点评 本题考查了“错位相减法”、等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．