Question

16．在△ABC中，
（1）若a，b，c成等比数列，则角B的取值范围是（0，$\frac{π}{3}$]；
（2）若a，b，c成等差数列，则角B的取值范围是（0，$\frac{π}{3}$]．

Answer 1

分析 （1）根据题中已知条件求出a，b，c之间的关系，然后利用余弦定理便可求出cosB的值，即可求出角B的范围．
（2）由等差数列的性质可知2b=a+c，利用余弦定理表示出cosB，然后把b=$\frac{1}{2}$（a+c）代入，利用基本不等式即可求出cosB的最小值，根据B的范围及余弦函数在此区间为减函数即可得到B的范围．

解答 解：（1）由题意知：a，b，c成等比数列，
∴b²=ac，
又∵a，b，c是三角形的三边，不妨设a≤b≤c，
由余弦定理得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-ac}{2ac}$≥$\frac{2ac-ac}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，
故：B∈（0，$\frac{π}{3}$]．
（2）由题意可得，2b=a+c，
由余弦定理可得，cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-（\frac{a+c}{2}）^{2}}{2ac}$=$\frac{3（{a}^{2}+{c}^{2}）-2ac}{8ac}$≥$\frac{6ac-2ac}{8ac}$=$\frac{1}{2}$，
又B∈（0，π），且余弦函数在此区间为减函数，
则B∈（0，$\frac{π}{3}$]．
故答案为：（0，$\frac{π}{3}$]，（0，$\frac{π}{3}$]．

点评 本题考查了等比数列的基本性质与三角函数的综合应用，考查了学生的计算能力以及对知识的综合掌握，涉及的知识有：余弦定理，等差数列的性质，基本不等式，以及余弦函数的图象与性质，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．