Question

设函数f（θ）=2

3

cos²

θ

2

-

3

-2sin

θ

2

cos

θ

2

，
（1）若

π

6

≤θ≤

4π

3

，求f（θ）的最大值和最小值
（2）若f（θ）=

8

5

，θ为锐角，求sin（2θ+

π

12

）

Answer 1

分析：（1）利用二倍角的余弦函数与二倍角的正弦，以及两角和的正弦函数化简函数的表达式，通过θ的范围求出函数的最值．
（2）通过f（θ）=

8

5

，θ为锐角，求出sin（

π

3

-θ），通过二倍角求出sin（2θ-

2π

3

），利用sin（2θ+

π

12

）=sin（2θ-

2π

3

+

3π

4

）求解即可．

解答：解：因为函数f（θ）=2

3

cos²

θ

2

-

3

-2sin

θ

2

cos

θ

2

=

3

cosθ-sinθ=2sin（

π

3

-θ）．
（1）因为

π

6

≤θ≤

4π

3

，-π＜

π

3

-θ≤

π

6

，
当

π

3

-θ=-

π

2

时，f（θ）取最小值-2；
当

π

3

-θ=

π

6

时，f（θ）取最大值1．
（2）f（θ）=2sin（

π

3

-θ）=

8

5

．sin（

π

3

-θ）=

4

5

．
因为-

π

6

＜

π

3

-θ＜

π

3

，
∴cos（

π

3

-θ）=

3

5

，
sin（2θ-

2π

3

）=-

24

25

，cos（2θ-

2π

3

）=-

7

24

，
∴sin（2θ+

π

12

）=sin（2θ-

2π

3

+

3π

4

）
=sin（2θ-

2π

3

）cos

3π

4

+cos（2θ-

2π

3

）sin

3π

4

=-

24

25

×(-

2

2

)-

7

24

×

2

2

=

17 2

50

．

点评：本题考查两角和与差的三角函数，同角三角函数的基本关系式的应用，三角函数的值的求法，考查计算能力．