【题目】已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)若有两个极值,其中,求的最小值.
【答案】(1)答案见解析;(2) .
【解析】试题分析:(1)求出,分三种情况讨论: 时, , 时,结合判别式及求根公式,令,求得 的范围,可得函数增区间, 求得 的范围,可得函数的减区间;(2)根据韦达定理可得, , , ,令,利用导数研究函数的单调性,根据单调性可得的最小值为,即的最小值为.
试题解析:(1)由题意得,其中,
令, ,
①当时,令,得, ,
所以, 在单调递增;
②当时, , 在单调递增;
③当时,令,得, ,且
可知当时, ,
在单调递增;
当时, ,
在单调递减;
当时, ,
在单调递增;
综上所述,当时, 在单调递增;
当, 在和单调递增,
在单调递减;
(2)由(1)知,
由题意知是的两根,
∴, ,
可得,
∵,∴
令,
则有
当时, , 在上单调递减,
的最小值为
,即的最小值为.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,直线过,倾斜角为,以为极点, 轴在平面直角坐标系中,直线,曲线(为参数),坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴,建立极坐标系.
(1)求的极坐标方程;
(2)若曲线的极坐标方程为,且曲线分别交于点两点,求的最大值.
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【题目】已知抛物线的顶点在原点,过点A(-4,4)且焦点在x轴.
(1)求抛物线方程;
(2)直线l过定点B(-1,0)与该抛物线相交所得弦长为8,求直线l的方程.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,曲线的极坐标方程为.
(1)当时,求曲线和曲线的交点的直角坐标;
(2)当时,设, 分别是曲线与曲线上动点,求的最小值.
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【题目】已知直角梯形中, , , , 、分别是边、上的点,且,沿将折起并连接成如图的多面体,折后.
(Ⅰ)求证: ;
(Ⅱ)若折后直线与平面所成角的正弦值是,求证:平面平面.
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【题目】已知集合,其中,由中的元素构成两个相应的集合:
, .
其中是有序数对,集合和中的元素个数分别为和.
若对于任意的,总有,则称集合具有性质.
(Ⅰ)检验集合与是否具有性质并对其中具有性质的集合,写出相应的集合和.
(Ⅱ)对任何具有性质的集合,证明.
(Ⅲ)判断和的大小关系,并证明你的结论.
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【题目】在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线的极坐标方程为,过点的直线的参数方程为(为参数),直线与曲线相交于两点.
(Ⅰ)写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程;
(Ⅱ)若,求的值.
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【题目】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯( )
A. 1盏 B. 3盏 C. 5盏 D. 9盏
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