【题目】已知直角梯形中,
,
,
,
、
分别是边
、
上的点,且
,沿
将
折起并连接成如图的多面体
,折后
.
(Ⅰ)求证: ;
(Ⅱ)若折后直线与平面
所成角
的正弦值是
,求证:平面
平面
.
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)见解析.
【解析】试题分析:(Ⅰ)由,
可得
平面
,从而
,结合
,根据线面垂直的判定定理可得;
平面
,所以
;(Ⅱ)作
于
,连
,由(Ⅰ)知
,即
为
与平面
所成角,设
,
,而直线
与平面
所成角的正弦值是
,即
,以
为轴建立坐标系,取
的中点
,先证明平面
的法向量是
,再利用向量垂直数量积为零可得平面
的法向量,根据空间向量夹角的余弦公式可得结果.
试题解析:(Ⅰ)∵,
,
∴,
,
又,
,
∴平面
,
,
又,
,
∴平面
,
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,可如图建立空间直角坐标系,
作于
,连
,由(Ⅰ)知
,
即为
与平面
所成角,设
,
,
而直线与平面
所成角的正弦值是
,即
.
(或:平面的法向量是
,
,
,
,
则).
易知平面平面
于
,取
的中点
,则
平面
,
而,则平面
的法向量是
,
(或另法求出平面的法向量是
),
再求出平面的法向量
,
设二面角是
,则
,
∴平面平面
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某仪器经过检验合格才能出厂,初检合格率为:若初检不合格,则需要进行调试,经调试后再次对其进行检验;若仍不合格,作为废品处理,再检合格率为
.每台仪器各项费用如表:
项目 | 生产成本 | 检验费/次 | 调试费 | 出厂价 |
金额(元) | 1000 | 100 | 200 | 3000 |
(Ⅰ)求每台仪器能出厂的概率;
(Ⅱ)求生产一台仪器所获得的利润为1600元的概率(注:利润出厂价
生产成本
检验费
调试费);
(Ⅲ)假设每台仪器是否合格相互独立,记为生产两台仪器所获得的利润,求
的分布列和数学期望.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知双曲线的焦点是椭圆
的顶点,
为椭圆
的左焦点且椭圆
经过点
.
(1)求椭圆的方程;
(2)过椭圆的右顶点
作斜率为
的直线交椭圆
于另一点
,连结
并延长
交椭圆
于点
,当
的面积取得最大值时,求
的面积.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】运动会时,高一某班共有28名同学参加比赛,每人至多报两个项目.15人参加游泳,8人参加田径,14人参加球类.同时参加游泳和田径的有3人,同时参加游泳和球类的有3人,则只参加一个项目的有______人.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆的左焦点为
,上顶点为
为坐标原点,椭圆的离心率
且
的面积为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)设线段的中点为
,经过
的直线
与椭圆交于
两点,
,若点
关于
轴的对称点在直线
上,求直线
方程.
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