【题目】已知双曲线的焦点是椭圆
的顶点,
为椭圆
的左焦点且椭圆
经过点
.
(1)求椭圆的方程;
(2)过椭圆的右顶点
作斜率为
的直线交椭圆
于另一点
,连结
并延长
交椭圆
于点
,当
的面积取得最大值时,求
的面积.
【答案】(1).(2)
.
【解析】试题分析:(1)由双曲线的焦点是椭圆
:
(
)的顶点可得
再由椭圆
经过点
可得
,从而可得求椭圆
的方程;(2)设直线
:
,联立
:
,得
,根据韦达定理及三角形面积公式将当
的面积用
表示,利用基本不等式等号成立的条件,可得当
的面积取得最大值时,求
的面积.
试题解析:(1)由已知得
所以的方程为
.
(2)由已知结合(1)得, ,
,
所以设直线:
,联立
:
,得
,
得,
(
),
当且仅当,即
时,
的面积取得最大值,
所以,此时
,
所以直线:
,联立
,解得
,
所以,点
到直线
:
的距离为
,
所以.
【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值,属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法:一是几何意义,特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决,非常巧妙;二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题,然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法,本题(2)就是用的这种思路,利用均值不等式法求三角形最值的.
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【题目】四棱锥PABCD的三视图如图所示,四棱锥PABCD的五个顶点都在一个球面上, E,F分别是棱AB,CD的中点,直线EF被球面所截得的线段长为2 ,则该球的表面积为
A. 12π B. 24π C. 36π D. 48π
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【题目】(导学号:05856306)
在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,且b=5,acos C=-1.
(Ⅰ)求角A;
(Ⅱ)求△ABC的面积.
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【题目】(导学号:05856334)
已知函数f(x)=ln x+ax2+1.
(Ⅰ)当a=-1时,求函数f(x)的极值;
(Ⅱ)当a>0时,证明:存在正实数λ,使得λ恒成立.
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【题目】已知点为抛物线C:
的焦点,过点
的动直线
与抛物线C交于
,
两点,如图.当直线
与
轴垂直时,
.
(1)求抛物线C的方程;
(2)已知点,设直线PM的斜率为
,直线PN的斜率为
.请判断
是否为定值,若是,写出这个定值,并证明你的结论;若不是,说明理由.
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【题目】据某气象中心观察和预测:发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动,其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示.过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l,梯形OABC在直线l左侧部分的面积即时间t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km).
(1)当t=4时,求s的值;
(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来;
(3)若N城位于M地正南方向,且距M地650 km,试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城,如果会,在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城?如果不会,请说明理由.
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【题目】已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时, .给出以下命题:
①当x<0时,f(x)=ex(x+1);
②函数f(x)有五个零点;
③若关于x的方程f(x)=m有解,则实数m的取值范围是f(-2)≤m≤f(2);
④对x1,x2∈R,|f(x2)-f(x1)|<2恒成立.
其中,正确命题的序号是________.
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【题目】已知函数,其中
为自然对数的底数.
(1)若函数在区间
上是单调函数,试求实数
的取值范围;
(2)已知函数,且
,若函数
在区间
上恰有3个零点,求实数
的取值范围.
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