Question

【题目】(导学号：05856334)

已知函数f(x)＝ln x＋ax2＋1.

(Ⅰ)当a＝－1时，求函数f(x)的极值；

(Ⅱ)当a>0时，证明：存在正实数λ，使得λ恒成立．

Answer 1

【答案】(1) 函数f(x)有极大值，无极小值(2)见解析

【解析】试题分析：（1）运用求解导数得出f′（x）=+2ax，x＞0，判断（0， ）单调递增，（ ，+∞）单调递减，

得出f（x）极大值=f（）=ln+，无极小值．

（2）构造g（x）=，当a＞0时g（x）的定义域为R，

g′（x）=，g′（x）==0，x1=1，x2=1，

判断得出g（x）在（﹣∞，x1）（x2，+∞）单调递增，（1，2）单调递减，求解得出极值，得出存在常数M，得出不等式恒成立．

试题解析：

(Ⅰ)依题意，f(x)＝ln x－x2＋1，x∈(0，＋∞)，f′(x)＝＝，

故当x∈(0，)时，f′(x)>0，

当x∈(，＋∞)时，f′(x)<0，

故函数f(x)有极大值f()＝ln－＋1＝－ln 2＋，无极小值.

(Ⅱ)令g(x)＝＝ (x＞0，a＞0)，

g′(x)＝，令g′(x)＝0，解得x1＝1－<0(舍去)，x2＝1＋>1，

当x变化时，g′(x)与g(x)的变化情况如下表：

x	(0，x2)	x2	(x2，＋∞)
g′(x)	－	0	＋
g(x)	↘		↗

所以函数g(x)在(x2，＋∞)上单调递增，在(0，x2)上单调递减．

又因为g(1)＝0，当0＜x<1时，g(x)＝>0；当x>1时，g(x)＝<0，

所以当0＜x≤1时，0≤g(x)＜g(0)＝1；当x>1时，g(x2)≤g(x)<0.

记M为1，|g(x2)|中最大的数，则||≤λ恒成立M≤λ.

综上，当a>0时，存在正实数λ∈[M，＋∞)，使得对任意的实数x，不等式||≤λ恒成立.