Question

【题目】已知点为抛物线C:的焦点，过点的动直线与抛物线C交于,两点，如图．当直线与轴垂直时，．

（1）求抛物线C的方程；

（2）已知点,设直线PM的斜率为，直线PN的斜率为．请判断是否为定值，若是，写出这个定值，并证明你的结论；若不是，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）根据抛物线的性质可将的坐标用含的代数式表示出来，从而即可建立关于的方程；（2）联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理说明的值是常量即可．

【解析】

试题分析：（1）求导，利用导数的几何意义求解；（2）对求导，根据导数的几何意义即可求解；（3）利用求得底面积和高即可求解．

试题解析：（1）∵为抛物线的焦点，∴．

又∵与轴垂直，且，∴，又∵点在抛物线上，

∴，∴，∴求抛物线C的方程为；（2）结论：，为定值，

设直线与抛物线交于不同两点，，

①当直线斜率不存在时，知直线与关于轴对称，∴．

②当直线斜率存在时，直线的方程设为，

联立，得∴，．

又∵，，且， ，

∴

，∵，∴，综上所述．