【题目】如图,在四棱锥中,
为等边三角形,平面
平面
,
,
,
,
,
为
的中点.
()求证:
.
()求二面角
的余弦值.
()若
平面
,求
的值.
【答案】(1)见解析;(2)余弦为;(2)
.
【解析】试题分析:(1)要证,可以先证明
垂直于
所在的平面
;(2)可以用向量法解决,取
的中点
,连接
,以
为原点,分别以
为
轴建立空间直角坐标系,分别求出两平面
、平面
的法向量,并求出法向量的夹角的余弦值,进而得到二面角
的余弦值;(3)因为
平面
,只需
,利用
即可求出
的值.
试题解析:(1)由于平面平面
,
为等边三角形,
为
的中点,则
,根据面面垂直性质定理,所以
平面
,又
平面
,则
.
(2)取的中点
,连接
,以
为原点,分别以
为
轴建立空间直角坐标系,
,由于平面
与
轴垂直,则设平面
的法向量为
,设平面
的法向量
,则
,二面角
的余弦值
,由二面角
为钝二面角,所以二面角
的斜弦值为
.
(3)有(1)知平面
,则
,若
平面
,只需
,
,又
,解得
或
,由于
,则
.
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【题目】给出下列四个命题:①若,则
;②若
,则
;③若
,则
;④若
,
且
,则
的最小值为9;其中正确命题的序号是______(将你认为正确的命题序号都填上).
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【题目】在极坐标系中,已知圆 的圆心
,半径
.
(1)求圆 的极坐标方程;
(2)若 ,直线
的参数方程为
为参数),直线
交圆
于
两点,求弦长
的取值范围.
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【题目】已知等差数列{an}的公差d≠0,它的前n项和为Sn,若S5=70,且a2,a7,a22成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设数列的前n项和为Tn,求证:
≤Tn<
.
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【题目】在一次“汉马”(武汉马拉松比赛的简称)全程比赛中,50名参赛选手(24名男选手和26名女选手)的成绩(单位:分钟)分别为数据 (成绩不为0).
(Ⅰ)24名男选手成绩的茎叶图如图⑴所示,若将男选手成绩由好到差编为1~24号,再用系统抽样方法从中抽取6人,求其中成绩在区间上的选手人数;
(Ⅱ)如图⑵所示的程序用来对这50名选手的成绩进行统计.为了便于区别性别,输入时,男选手的成绩数据用正数,女选手的成绩数据用其相反数(负数),请完成图⑵中空白的判断框①处的填写,并说明输出数值和
的统计意义.
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【题目】已知点为抛物线
:
的焦点,点
为抛物线
上一定点。
(1)直线过点
交抛物线
于
、
两点,若
,求直线
的方程;
(2)过点作两条倾斜角互补的直线分别交抛物线
于异于点
的两点
,试证明直线
的斜率为定值,并求出该定值。
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【题目】(14分)关于x的不等式ax2+(a﹣2)x﹣2≥0(a∈R)
(1)已知不等式的解集为(﹣∞,﹣1]∪[2,+∞),求a的值;
(2)解关于x的不等式ax2+(a﹣2)x﹣2≥0.
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