Question

【题目】（14分）关于x的不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≥0（a∈R）

（1）已知不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞），求a的值；

（2）解关于x的不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≥0．

Answer 1

【答案】（1） （2）当a=0时，不等式的解集为{x|x≤﹣1}，当a＞0时，不等式的解集为{x|x≥或x≤﹣1}，当﹣2＜a＜0时，不等式的解集为{x|≤x≤﹣1}，当a=﹣2时，不等式的解集为{x|x=﹣1}，当a＜﹣2时，不等式的解集为{x|﹣1≤x≤}．

【解析】试题分析：（1）且该不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞），∴a＞0；又不等式对应方程的两个实数根为﹣1和2，从而可求出的值；（2）分四种情况讨论的取值，分别根据一元二次不等式的解法求出对应不等式的解集即可.

试题解析：（1）∵关于x的不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≥0可变形为

（ax﹣2）（x+1）≥0，

且该不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞），

∴a＞0；

又不等式对应方程的两个实数根为﹣1和2；

∴=2，解得a=1；

（2）①a=0时，不等式可化为﹣2x﹣2≥0，它的解集为{x|x≤﹣1}；

②a≠0时，不等式可化为（ax﹣2）（x+1）≥0，

当a＞0时，原不等式化为（x﹣）（x+1）≥0，

它对应的方程的两个实数根为和﹣1，且＞﹣1，

∴不等式的解集为{x|x≥或x≤﹣1}；

当a＜0时，不等式化为（x﹣）（x+1）≤0，

不等式对应方程的两个实数根为和﹣1，

在﹣2＜a＜0时，＜﹣1，

∴不等式的解集为{x|≤x≤﹣1}；

在a=﹣2时，=﹣1，不等式的解集为{x|x=﹣1}；

在a＜﹣2时，＞﹣1，不等式的解集为{x|﹣1≤x≤}．

综上，a=0时，不等式的解集为{x|x≤﹣1}，

a＞0时，不等式的解集为{x|x≥或x≤﹣1}，

﹣2＜a＜0时，不等式的解集为{x|≤x≤﹣1}，

a=﹣2时，不等式的解集为{x|x=﹣1}，

a＜﹣2时，不等式的解集为{x|﹣1≤x≤}