Question

【题目】已知椭圆方程，其左焦点、上顶点和左顶点分别为， ， ，坐标原点为，且线段， ， 的长度成等差数列．

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）若过点的一条直线交椭圆于点， ，交轴于点，使得线段被点， 三等分，求直线的斜率．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或．

【解析】试题分析: （Ⅰ）由线段， ， 的长度成等差数列,以及,可求得离心率; （Ⅱ）设直线的方程为，先研究的情况，根据，求出将直线的方程和椭圆方程联立求出点的横坐标，根据对称性可知直线的斜率．

试题解析:（Ⅰ）依题意有，

把上式移项平方并把，代入得，

所以椭圆的离心率．

（Ⅱ）设直线的方程为，先研究的情况，要使，

则， ，

因此．

将直线的方程和椭圆方程联立可得解得

由于点的横坐标为，因此也等于，

由对称性可知直线的斜率为或．