【题目】已知抛物线,焦点为
,点
在抛物线
上,且
到
的距离比
到直线
的距离小1.
(1)求抛物线的方程;
(2)若点为直线
上的任意一点,过点
作抛物线
的切线
与
,切点分别为
,求证:直线
恒过某一定点.
【答案】(1)(2)
【解析】试题分析:(1)根据抛物线定义可得直线为抛物线的准线,即得
,(2)关键求出直线AB方程,先设切点
的坐标,利用导数几何意义可得切线斜率,进而根据点斜式可得切线方程,求两切线方程交点可得点
坐标,由于点
在直线
上,所以可得
.最后联立AB方程
与抛物线方程,利用韦达定理得
,即得直线
恒过定点
.
试题解析:(1)因为到
的距离与
到直线
的距离相等,由拋物线定义知,直线
为抛物线的准线,所以
,得
,所以抛物线
的方程为
.
(2)设切点的坐标分别为
,由(1)知,
.
则切线的斜率分别为
,
,
故切线 的方程分别为
,
,
联立以上两个方程,得故
的坐标为
.
因为点在直线
上,所以
,即
.
设直线的方程为
,代入抛物线方程
,得
,所以
,即
,所以
.
故的方程为
,故直线
恒过定点
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数f(x)=Asin( x+φ),x∈R,A>0,0<φ<
.y=f(x)的部分图象如图所示,P、Q 分别为该图象的最高点和最低点,点P的坐标为(1,A).点R的坐标为(1,0),∠PRQ=
.
(1)求f(x)的最小正周期以及解析式.
(2)用五点法画出f(x)在x∈[﹣ ,
]上的图象.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】传承传统文化再掀热潮,央视科教频道以诗词知识竞赛为主的《中国诗词大会》火爆荧屏。将中学组和大学组的参赛选手按成绩分为优秀、良好、一般三个等级,随即从中抽取了100名选手进行调查,下面是根据调查结果绘制的选手等级人数的条形图.
(Ⅰ)若将一般等级和良好等级合称为合格等级,根据已知条件完成下面的列联表,并据此资料你是否有95%的把握认为选手成绩“优秀”与文化程度有关?
注:其中
.
(Ⅱ)在优秀等级的选手中取6名,依次编号为1,2,3,4,5,6,在良好等级的选手中取6名,依次编号为1,2,3,4,5,6,在选出的6名优秀等级的选手中任取一名,记其编号为,在选出的6名良好等级的选手中任取一名,记其编号为
,求使得方程组
有唯一一组实数解
的概率.
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【题目】如图:区域A是正方形OABC(含边界),区域B是三角形ABC(含边界)。
(Ⅰ)向区域A随机抛掷一粒黄豆,求黄豆落在区域B的概率;
(Ⅱ)若x,y分别表示甲、乙两人各掷一次骰子所得的点数,求点(x,y)落在区域B的概率;
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【题目】已知椭圆方程,其左焦点、上顶点和左顶点分别为
,
,
,坐标原点为
,且线段
,
,
的长度成等差数列.
(Ⅰ)求椭圆的离心率;
(Ⅱ)若过点的一条直线
交椭圆于点
,
,交
轴于点
,使得线段
被点
,
三等分,求直线
的斜率.
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