【题目】已知函数为实数)的图像在点
处的切线方程为
.
(1)求实数的值及函数
的单调区间;
(2)设函数,证明
时,
.
【答案】(1)函数的单调递减区间为
,单调递增区间为
;(2)见解析.
【解析】试题分析:(1)由导数几何意义得,又
,解方程组可得
.再求导函数零点,根据导函数符号变化规律确定函数单调区间,(2)先化简条件
得
,再等价转化不等式:要证
,需证
,即证
,最后构造函数
,其中
,利用导数研究函数单调性:
在区间
内单调递增,即得
,从而结论得证.
试题解析:(1)由题得,函数的定义域为
,
,
因为曲线在点
处的切线方程为
,
所以解得
.
令,得
,
当时,
,
在区间
内单调递减;
当时,
,
在区间
内单调递增.
所以函数的单调递减区间为
,单调递增区间为
.
(2)由(1)得, .
由,得
,即
.
要证,需证
,即证
,
设,则要证
,等价于证:
.
令,则
,
∴在区间
内单调递增,
,
即,故
.
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【题目】如图,在某港口处获悉,其正东方向距离20n mile的
处有一艘渔船遇险等待营救,此时救援船在港口的南偏西30°距港口10n mile的C处,救援船接到救援命令立即从C处沿直线前往B处营救渔船.
(1)求接到救援命令时救援船距渔船的距离;
(2)试问救援船在C处应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援?(已知)
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【题目】如图,三棱柱的底面是边长为2的正三角形且侧棱垂直于底面,侧棱长是
,
是
的中点.
(1)求证: 平面
;
(2)求二面角的大小;
(3)求直线与平面
所成角的正弦值.
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【题目】如图,四棱柱中,
底面
,底面
是梯形,
,
,
.
(1)求证:平面平面
;
(2)在线段上是否存在一点
,使
平面
,若存在,请确定点
的位置;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知点A(x1 , f(x1)),B(x2 , f(x2))是函数f(x)=2sin(ωx+φ) 图象上的任意两点,且角φ的终边经过点
,若|f(x1)﹣f(x2)|=4时,|x1﹣x2|的最小值为
.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)的单调递增区间;
(3)当 时,不等式mf(x)+2m≥f(x)恒成立,求实数m的取值范围.
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【题目】已知抛物线,焦点为
,点
在抛物线
上,且
到
的距离比
到直线
的距离小1.
(1)求抛物线的方程;
(2)若点为直线
上的任意一点,过点
作抛物线
的切线
与
,切点分别为
,求证:直线
恒过某一定点.
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【题目】已知抛物线的焦点为
,准线为
,抛物线上一点
的横坐标为1,且到焦点
的距离为2.
(1)求抛物线的方程;
(2)设是抛物线上异于原点
的两个不同点,直线
和
的倾斜角分别为
和
,当
变化且
为定值
时,证明直线
恒过定点,并求出该定点的坐标.
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【题目】(14分)关于x的不等式ax2+(a﹣2)x﹣2≥0(a∈R)
(1)已知不等式的解集为(﹣∞,﹣1]∪[2,+∞),求a的值;
(2)解关于x的不等式ax2+(a﹣2)x﹣2≥0.
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