Question

【题目】已知抛物线的焦点为，准线为，抛物线上一点的横坐标为1，且到焦点的距离为2.

（1）求抛物线的方程；

（2）设是抛物线上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当变化且为定值时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】试题分析：（1）由抛物线的定义求解即可；

（2）设点，设直线的方程分别为与抛物线联立求交点，用坐标表示斜率，斜率表示正切研究即可.

试题解析：

（1）由抛物线的定义知，点到焦点的距离等于到准线的距离，所以.故抛物线的标准方程为.

（2）设点，由题意得 (否则,不满足)，且，

设直线的方程分别为，

联立解得；联立，解得.

则由两点式得直线的方程为.

化简得.①

因为，且得,

可得.②

将②代人①，化简得 ，

即,令,得.

所以直线恒过定点.