Question

【题目】已知函数（其中）

（1）求的单调减区间；

（2）当时，恒成立，求的取值范围；

（3）设 只有两个零点（），求的值.

Answer 1

【答案】（1）单调减区间为（－∞，0）和（0,1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）先求得函数的定义域，然后求导，利用导数求得函数的单调减区间.（2）构造函数，利用其二阶导数研究它的单调性，由此求得的取值范围.（3）化简，利用导数，研究零点分布的情况，由此求得的值.

（1）的定义域为｛x｜x≠0｝，

＝＜0，解得：x＜1，

所以，的单调减区间为（－∞，0）和（0,1）

(2)“当时，恒成立”等价于“当时，恒成立”，其中.构造函数，则.记，则.

（i）若，则在上恒成立，在上单调递增，因此当时，有，即，所以在上单调递增，因此当时，有，即，故恒成立，符合题意.

（ii）若，则在上恒成立，所以在上单调递减，因此当时，有，即，所以在上单调递减，因此时，有，即.故不对任意恒成立，不符合题意.综上所述，的取值范围是.

(3)，所以，依题意知关于的方程只有两个实数根，即关于的方程只有两个非零实根，其中.故，或或.

（i）若，则，不符合题意；

（ii）若，比较对应项系数，得，解得.不满足，故不符合题意；

（iii）若，同理可得，符合题意，此时.综上所述，的值为.