Question

【题目】已知椭圆（a＞b＞0）经过点，且离心率为．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）已知A（0，b），B（a，0），点P是椭圆C上位于第三象限的动点，直线AP、BP分别将x轴、y轴于点M、N，求证：|AN||BM|为定值．

Answer 1

【答案】(1)+y2=1．(2)见解析.

【解析】

（1）由题意可得：，，a2=b2+c2，联立解得：a，b．即可得出椭圆C的方程．

（2）设P（x0，y0），（x0＜0，y0＜0）A（2，0），B（0，1）．．可得直线BP，AP的方程分别为：y=x+1，y=（x-2），可得：M（，0），N（0，）．可得|AM||BN|为定值．

解：（1）由题意可得：+=1，=，a2=b2+c2，

联立解得：a=2，b=1．

∴椭圆C的方程为：+y2=1．

（2）证明：设P（x0，y0），（x0＜0，y0＜0）A（2，0），B（0，1）．

+4=4．

可得直线BP，AP的方程分别为：y=x+1，y=（x-2），

可得：M（，0），N（0，）．

∴|AM|span>|BN|=（2-）（1-）=2--+==4为定值．