Question

【题目】如图，是半圆的直径，平面与半圆所在的平面垂直，，， ，是半圆上不同于，的点，四边形是矩形．

（Ⅰ）若，证明：平面；

（Ⅱ）若，求三棱锥体积的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）．

【解析】

（Ⅰ）先证明平面，从而可得，过点作，垂足为，可得到，由勾股定理可得，从而可证.
（Ⅱ）过点作，垂足为，可得，由,作于，由（Ⅰ）知平面，则是三棱锥的高，当最大，即点与点重合时，三棱锥的体积最大，从而可求出答案.

（Ⅰ）∵平面与半圆所在的平面垂直，

∴平面平面，

又平面平面，，

∴平面

∵平面，

∴，

∵是半圆上一点，

∴，

又，

∴平面，

∵平面，

∴

∵四边形是矩形，

∴，

由，，，过点作，垂足为，

则，，

，，

∴，

∴

又，

∴平面

（Ⅱ）在平面内，作于，由（Ⅰ）知平面，

则是三棱锥的高，

∴当最大，即点与点重合时，三棱锥的体积最大，此时

∵，，过点作，垂足为，

则，，

∴，

∴三棱锥体积的最大值为．