Question

【题目】已知函数.

（1）当时，求函数的极值；

（2）若函数有两个零点，求的取值范围，并证明.

Answer 1

【答案】（1）当时， 在处取得的极大值；函数无极小值. （2）证明见解析

【解析】试题分析：（1）求出，令求得 的范围，可得函数增区间，令求得 的范围，可得函数的减区间，从而可得函数的极值；（2）对进行讨论： ， ， ， ，针对以上四种情况，分别利用导数研究函数的单调性，利用单调性讨论函数有两个零点情况，排除不是两个零点的情况，可得有两个零点时， 的取值范围是，由（1）知在单调递减，故只需证明即可，又，只需利用导数证明即可.

试题解析：（1）由得，

当时， ，若；若 ，

故当时， 在处取得的极大值；函数无极小值.

（2）当时，由（1）知在处取得极大值，且当趋向于时， 趋向于负无穷大，又有两个零点，则，解得.

当时，若；若；若，则在处取得极大值，在处取得极小值，由于，则仅有一个零点.

当时， ，则仅有一个零点.

当时，若；若；若，则在处取得极小值，在处取得极大值，由于，则仅有一个零点.

综上， 有两个零点时， 的取值范围是.

两零点分别在区间和内，不妨设.

欲证，需证明，

又由（1）知在单调递减，故只需证明即可.

，

又，

所以，

令，则，

则在上单调递减，所以，即，

所以.