Question

【题目】已知正四棱锥的所有棱长都相等，是的中点，则，所成角的正弦值为（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】C

【解析】

根据异面直线所成角的定义可得分别取SC，DC，AD边的中点F，G，H易得EF∥HA，EF=HA，故四边形AEFH为平行四边形，所以AE∥DF，又根据中点的性质可得FG∥SD从而将异面直线转化为了相交直线，即∠HFG或其补角即为异面直线AE、SD所成的角，然后再利用余弦定理，求∠HFG的余弦值即可．

由于正四棱锥S﹣ABCD的侧棱长与底面边长都相等，故不妨设棱长为a．

取SC的中点F，连接EF，则EF∥BC，EF=BC，

取AD的中点H连接HF则可得EF∥HA，EF=HA，

故四边形AEFH为平行四边形，所以AE∥HF．

再取DC中点G，连接HG，则FG∥SD，

所以∠HFG或其补角即为异面直线AE、SD所成的角．

∵HF=AE=a，FG=a，HG==A，

∴cos∠HFG=＞0．

即AE、SD所成的角的正弦值为．

故选：C．