【题目】已知正四棱锥的所有棱长都相等,
是
的中点,则
,
所成角的正弦值为( )
A. B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
根据异面直线所成角的定义可得分别取SC,DC,AD边的中点F,G,H易得EF∥HA,EF=HA,故四边形AEFH为平行四边形,所以AE∥DF,又根据中点的性质可得FG∥SD从而将异面直线转化为了相交直线,即∠HFG或其补角即为异面直线AE、SD所成的角,然后再利用余弦定理,求∠HFG的余弦值即可.
由于正四棱锥S﹣ABCD的侧棱长与底面边长都相等,故不妨设棱长为a.
取SC的中点F,连接EF,则EF∥BC,EF=BC,
取AD的中点H连接HF则可得EF∥HA,EF=HA,
故四边形AEFH为平行四边形,所以AE∥HF.
再取DC中点G,连接HG,则FG∥SD,
所以∠HFG或其补角即为异面直线AE、SD所成的角.
∵HF=AE=a,FG=
a,HG=
=
A,
∴cos∠HFG=
>0.
即AE、SD所成的角的正弦值为.
故选:C.
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【题目】有一隧道内设双行线公路,其截面由一长方形和一抛物线构成,如图所示.为保证安全,要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有米.若行车道总宽度
为
米.
(1)计算车辆通过隧道时的限制高度;
(2)现有一辆载重汽车宽米,高
米,试判断该车能否安全通过隧道?
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【题目】已知曲线C1:y=cosx,C2:y=sin(2x+ ),则下面结论正确的是( )
A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移 个单位长度,得到曲线C2
B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移 个单位长度,得到曲线C2
C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移
个单位长度,得到曲线C2
D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移
个单位长度,得到曲线C2
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【题目】在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,SD底面ABCD,SD=2,其中
分别是
的中点,
是
上的一个动点.
(1)当点落在什么位置时,
∥平面
,证明你的结论;
(2)求三棱锥的体积.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆的离心率为
,过椭圆右焦点
作两条互相垂直的弦
与
.当直线
斜率为0时,
.
(1)求椭圆的方程;
(2)求的取值范围.
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【题目】已知集合A={x|x<2},B={x|3﹣2x>0},则( )
A.A∩B={x|x< }
B.A∩B=?
C.A∪B={x|x< }
D.AUB=R
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【题目】如图,四棱锥P﹣ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC= AD,∠BAD=∠ABC=90°,E是PD的中点.
(Ⅰ)证明:直线CE∥平面PAB;
(Ⅱ)点M在棱PC 上,且直线BM与底面ABCD所成角为45°,求二面角M﹣AB﹣D的余弦值.
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