Question

设角α的终边在第一象限，函数f（x）的定义域为[0，1]，且f（0）=0，f（1）=1，当x≥y时，有f（

x+y

2

）=f（x）sinα+（1-sinα）f（y），则使等式f（

1

4

）=

1

4

成立的α的集合为

 

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：函数的性质及应用,三角函数的求值

分析：令x=

1

2

，y=0，可得f(

1

4

)=f(

1

2

)sinα+(1-sinα)f(0)；再令x=1，y=0，则f(

1

2

)=f(1)sinα+(1-sinα)f(0)，利用f（0）=0，f（1）=1，f(

1

4

)=

1

4

，即可得出．

解答： 解：令x=

1

2

，y=0，则f(

1

4

)=f(

1

2

)sinα+(1-sinα)f(0)，
再令x=1，y=0，则f(

1

2

)=f(1)sinα+(1-sinα)f(0)，
∵f（0）=0，f（1）=1，f(

1

4

)=

1

4

，
∴

1

4

=sin²α，
∵角α的终边在第一象限，
∴

1

2

=sinα，∴α=

π

6

+2kπ(k∈Z)．
∴使等式f（

1

2

）=

1

2

成立的α的集合为{α|α=2kπ+

π

6

，k∈Z}．
故答案为：{α|α=2kπ+

π

6

，k∈Z}；

点评：本题考查了函数的性质、三角函数的求值，属于中档题．