Question

证明f（x）=3x²+2在区间[0，+∞）上是增函数．

Answer 1

分析：在要求证的区间内任取两个自变量x₁，x₂，规定大小后把对应的函数值作差，因式分解后判断差式的符号，从而得到对应函数值的大小，然后利用增函数的概念得到证明．

解答：证明：设x₁，x₂∈[0，+∞），且x₁＜x₂，
则f(x1)-f(x2)=(3x12+2)-(3x22+2)
=3(x12-x22)=3（x₁+x₂）（x₁-x₂）．
∵x₁，x₂∈[0，+∞），且x₁＜x₂，
∴x₁+x₂＞0，x₁-x₂＜0．
∴3（x₁+x₂）（x₁-x₂）＜0．
即f（x₁）-f（x₂）＜0．
f（x₁）＜f（x₂）．
所以f（x）=3x²+2在区间[0，+∞）上是增函数．

点评：本题考查了函数单调性的判断与证明，训练了因式分解法，解答此题的关键是因式分解要彻底，避免出现证题用题的现象的发生．是基础题．