Question

（2012•济宁一模）某高中社团进行社会实验，对[25，55]岁的人群随机抽取1000人进行了一次是否开通“微博”的调查，若开通“微博”的为“时尚族”，否则称为“非时尚族”．通过调查得到各年龄段人数的频率分布直方图如图所示，其中在[40，45）岁、[45，50）岁年龄段人数中，“时尚族”人数分别占本组人数的40%、30%．

请完成以下问题：
（I）求[40，45）岁与[45，50）岁年龄段“时尚族”的人数；
（II）从[40，45）岁和[45，50）岁年龄段的“时尚族”中，采用分层抽样法抽取9人参加网络时尚达人大赛，其中选取3人作为领队，已选取的3名领队中年龄在[40，45）岁的人数为X，求X的分布列和数学期望EX．

Answer 1

分析：（1）根据频率直方图，求出[40，45）岁与[45，50）岁年龄段的人数，根据“时尚族”人数分别占本组人数的40%、30%，从而求出[40，45）岁与[45，50）岁年龄段“时尚族”的人数；
（2）因为[40，45）岁年龄段的“时尚族”与[45，50）岁年龄段的“时尚族”的比值为2：1，所以采用分层抽样法抽取18人，[40，45）岁中有6人，[45，50）岁中有3人，随机变量X服从超几何分布，X的取值可能为0，1，2，3，分别求出相应的概率，列出分布列，根据数学期望公式求出期望即可．

解答：解：（I）[40，45）岁与[45，50）岁年龄段的人数分别为：
1000×0.03×5=150，1000×0.02×5=100，
∴[40，45）岁与[45，50）岁年龄段“时尚族”的人数分别为：
150×40%=60，100×30%=30．
（II）因为[40，45）岁与[45，50）岁年龄段的“时尚族”的比值为60：30=2：1，
所以采用分层抽样法抽取9人，[40，45）岁中有6人，[45，50）岁中有3人．   （6分）
随机变量X服从超几何分布．
P（X=0）=

C 0 6 C 3 3

C 3 9

=

1

84

，P（X=1）=

C 1 6 C 2 3

C 3 9

=

3

14

，
P（X=2）=

C 2 6 C 1 3

C 3 9

=

15

28

，P（X=3）=

C 3 6 C 0 3

C 3 9

=

1

84

，
所以随机变量X的分布列为

X	0	1	2	3
P	1 84	3 14	15 28	1 84

（10分）
∴数学期望 E（X）=0×

1

84

+1×

3

14

+2×

15

28

+3×

1

84

=

37

28

（12分）

点评：本题重点考查频率分布直方图，离散型随机变量的分布列和数学期望，同时考查了超几何分布的概念和计算能力，属于中档题．