Question

（2012•德州一模）如图，矩形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=1，CD=2，DE=4，M为CE的中点．
（Ⅰ）求证：BM∥平面ADEF：
（Ⅱ）求证：BC⊥平面BDE；
（Ⅲ）求三棱锥C-MBD的体积．

Answer 1

分析：（I）取DE中点N，连接MN，AN，由三角形中位线定理，结合已知中AB∥CD，AB=AD=1，CD=2，易得四边形ABMN为平行四边形，所以BM∥AN，再由线面平面的判定定理，可得BM∥平面ADEF；
（II）由已知中矩形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，易得ED⊥平面ABCD，进而ED⊥BC，由勾股定理，我们易判断出△BCD中，BC⊥BD，由线面垂直的判定定理可得BC⊥平面BDE；
（Ⅲ）取CD中点G，连接MG，利用V_C-MBD=V_M-BCD，即可求得结论．

解答：（I）证明：取DE中点N，连接MN，AN
在△EDC中，M、N分别为EC，ED的中点，所以MN∥CD，且MN=

1

2

CD．
由已知AB∥CD，AB=

1

2

CD，所以MN∥AB，且MN=AB．
所以四边形ABMN为平行四边形，所以BM∥AN
又因为AN?平面ADEF，且BM?平面ADEF，
所以BM∥平面ADEF；

（II）证明：在矩形ADEF中，ED⊥AD，
又因为平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD=AD，
所以ED⊥平面ABCD，所以ED⊥BC．
在直角梯形ABCD中，AB=AD=1，CD=2，可得BC=

2

在△BCD中，BD=BC=

2

，CD=2，
因为BD²+BC²=CD²，所以BC⊥BD．
因为BD∩DE=D，所以BC⊥平面BDE，
（Ⅲ）解：取CD中点G，连接MG，则MG∥DE且MG=

1

2

DE=2
∵ED⊥平面ABCD
∴MG⊥平面ABCD
∵BC⊥DB且BC=BD=

2

∴V_C-MBD=V_M-BCD=

1

3

S△BCD×MG=

1

3

×

1

2

×

2

×

2

×2=

2

3

．

点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，三棱锥体积的计算，熟练掌握空间直线与平面不同位置关系（平行和垂直）的判定定理、性质定理、定义及几何特征是解答本题的关键．