Question

8．已知F₁，F₂分别是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0）的左、右焦点，l₁，l₂为双曲线的两条渐近线．设过点M（b，0）且平行于l₁的直线交l₂于点P．若PF₁⊥PF₂，则该双曲线的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\sqrt{5}$
• C． $\frac{\sqrt{14-2\sqrt{41}}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{14+2\sqrt{41}}}{2}$

Answer 1

分析 通过联立双曲线的渐近线为：y=$\frac{b}{a}$x，直线PM的方程为：y=-$\frac{b}{a}$（x-b），求出P的坐标，再利用PF₁⊥PF₂，建立方程，即可求出该双曲线的离心率．

解答 解：根据题意可得F₁（-c，0）、F₂（c，0），
双曲线的渐近线为：y=$\frac{b}{a}$x，直线PM的方程为：y=-$\frac{b}{a}$（x-b），
联立，可得x=$\frac{b}{2}$，
∴P（$\frac{b}{2}$，$\frac{{b}^{2}}{2a}$）
∴$\overrightarrow{{F}_{1}P}$=（$\frac{b}{2}$+c，$\frac{{b}^{2}}{2a}$），$\overrightarrow{{F}_{2}P}$=（$\frac{b}{2}$-c，$\frac{{b}^{2}}{2a}$）
∵PF₁⊥PF₂，
∴$\overrightarrow{{F}_{1}P}$•$\overrightarrow{{F}_{2}P}$=0，
∴（$\frac{b}{2}$+c，$\frac{{b}^{2}}{2a}$）•（$\frac{b}{2}$-c，$\frac{{b}^{2}}{2a}$）=0
∴$\frac{{b}^{2}}{4}-{c}^{2}+\frac{{b}^{4}}{4{a}^{2}}$=0
∴b²=4a²，
∴c²=5a²，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$，
故选：B．

点评 本题考查求双曲线的离心率，考查计算能力，注意解题方法的积累，属于中档题．