已知双曲线C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$的右焦点为F.点B是虚轴的一个端点.线段BF与双曲线C的右支交于点A.若$\overrightarrow{BA}=2\overrightarrow{AF}$.则双曲线C的离心率( )A．$\frac{\sqrt{10}}{2}$B．$\frac{\sqrt{6}}{2}$C� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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18．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点B是虚轴的一个端点，线段BF与双曲线C的右支交于点A，若$\overrightarrow{BA}=2\overrightarrow{AF}$，则双曲线C的离心率（　　）

A．

$\frac{\sqrt{10}}{2}$

B．

$\frac{\sqrt{6}}{2}$

C．

$\frac{5}{2}$

D．

$\frac{3}{2}$

分析利用右焦点为F（c，0），点B（0，b），线段BF与双曲线C的右支交于点A，$\overrightarrow{BA}=2\overrightarrow{AF}$，确定A的坐标，代入双曲线方程，化简可求双曲线的离心率．

解答解：设A（x，y），
∵右焦点为F（c，0），点B（0，b），线段BF与双曲线C的右支交于点A，$\overrightarrow{BA}=2\overrightarrow{AF}$，
∴x=$\frac{2c}{3}$，y=$\frac{b}{3}$，
代入双曲线方程，可得$\frac{4}{9}×\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{1}{9}$=1
∴e=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．
故选：A．

点评本题考查向量知识的运用，考查双曲线的离心率，利用向量知识确定A的坐标是关键．

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