Question

8．已知{a_n}是递增的等差数列，a₁=2，${a_3}^2={a_4}+11$．
（Ⅰ）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（Ⅱ）若b_n=a_n•（2n-5），求数列{b_n}的最小项．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由等差数列的性质得（2+2d）²=（2+3d）+11，由此求出公差，从而能求出数列{a_n}的前n项和．
（Ⅱ）先求出a_n=n+1，从而得到b_n=2（n-$\frac{3}{4}$）²-$\frac{49}{8}$，由此能求出数列{b_n}的最小项．

解答 解：（Ⅰ）∵{a_n}是递增的等差数列，a₁=2，${a_3}^2={a_4}+11$，
∴（2+2d）²=（2+3d）+11，
解得d=1或d=-$\frac{9}{4}$（舍），
∴数列{a_n}的前n项和：
S_n=2n+$\frac{n（n-1）}{2}×1$=$\frac{{n}^{2}+3n}{2}$．
（Ⅱ）∵a₁=2，d=1，∴a_n=2+（n-1）×1=n+1，
b_n=a_n•（2n-5）（n+1）（2n-5）=2n²-3n-5=2（n-$\frac{3}{4}$）²-$\frac{49}{8}$，
∴数列{b_n}的最小项为${b}_{1}=2（1-\frac{3}{4}）^{2}-\frac{49}{8}$=-6．

点评 本题考查数列的前n项和的求法，考查数列的最小项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质和配方法的合理运用．