Question

设数列{an}满足：a1＝1，a2＝2，an＋2＝(n≥1，n∈N*),

令

(1) 求证：数列是常数列；

 (2) 求证：当n≥2时，；

(3) 求a2 015的整数部分.

Answer 1

 (1) 易知，对一切n≥1，an≠0，由an＋2＝，得＝.

依次利用上述关系式，可得

＝＝＝…＝＝＝1，

从而数列是常数列．

(2) 由(1)得an＋1＝an＋.

又a1＝1，∴可知数列{an}递增，则对一切n≥1，有an≥1成立，从而0＜≤1.

当n≥2时，a＝＝a＋＋2，

于是a－a＝＋2，

∴2＜a－a≤3.

(3) 当n≥2时，a＝a＋＋2，

∴a＝＋…＋＋a＋2(n－1)．

a＝1，a＝4，则当n≥3时，

a＝＋…＋＋a＋2(n－1)

＝＋…＋＋1＋1＋2(n－1)

＝＋…＋＋2n＞2n.，

又

＝4 029＋＋…＋＝4 030＋

＝4 030＋++

<4 030＋<4 096＝642.

∴63＜＜64，即的整数部分为63.